概率 Probability

• 样本空间与事件
  • 样本空间
    • $$\Omega=\{a,b,c,d,e,f,g,h,\dots\}$$
  • 事件
    • $$A\subseteq\Omega$$
    • $$B\subseteq\Omega$$
    • $$C\subseteq\Omega$$
• 概率的古典定义
  • $$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)},\quad 0\le P(A)\le1$$
• 基本事件
  • 互斥事件
    • $$事件A和事件B不可能同时发生 \implies A\cap B=\emptyset$$
      • $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$
  • 对立事件
    • $$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$
      • $P(\overline{A})$ 为A不发生的概率
  • 独立事件
    • $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$
      • $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
• 从属事件与条件概率
  • 从属事件
    • $P(B|A)$ 为在A发生的情况下，B发生的概率
    • A为B的条件
    • B为A的从属事件
  • 条件概率
    • $$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},P(A)\not=0 \implies P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$$
• 数学期望值
  • $$ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i) $$
• 方差与标准差
  • 方差
    • $$\sigma^2=E(X^2)-[E(X)]^2$$
  • 标准差
    • $$\ \sigma=\sqrt{E(X^2)-[E(X)]^2}=\sqrt{\sigma^2}$$
• 二项分布 $B(n,p)$
  • 概率公式
    • $$P(X=r)={}_n\mathrm{C}_r \ p^r q^{n-r},q=1-p$$
      • q为p的对立概率
  • 期望值
    • $$\mu=E(X)=np$$
  • 标准差
    • $$\sigma=\sqrt{npq}$$
• 全概率公式与贝叶斯定理
  • 全概率公式
    • $$P(A)=\sum_{i=1}^{n} P(E_i)P(A|E_i)$$
    • $ \text{由因求果：}\\ \text{已知各个前置原因 } B_1,B_2,\dots,B_n \text{ 的概率，}\\ \text{求最终发生事件 } A \text{ 的总概率} $
  • 贝叶斯定理
    • $$P(E_k|A)=\frac{P(E_k)P(A|E_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(E_i)P(A|E_i)}$$
    • $ \text{由果溯因（反向概率）：}\\ \text{已知结果 A 已经发生，反推是由某一个原因 \(B_j\) 造成的概率} $
• 标准常态分布 $N(\mu,\sigma^2)$
  • $$z=\frac{x-\mu}{\sigma}\sim N(0,1),\ P(Z\ge z)=Q(z)$$
  • 特性
    • $$P(Z \geq z)=P(Z \leq -z)$$
    • $$P(Z \geq z)=1-P(Z < z)$$
    • $$P(a\leq Z \leq b)=P(Z \geq a)-P(Z < b)$$
    • $$P(|Z| \leq a)=P(-a \leq Z \leq a)$$
    • $$P(|Z| \geq a)=P(Z \leq -a)+P(Z \geq a)=2P(Z \geq a)$$
  • $$标准常态分布表$$